論理代数の性質についてまとめてみました。
論理回路をわかりやすくまとめてみたも参考にしてください。
論理代数とは
0と1だけを扱う代数です。
0と1しか出てきません。
コンピューター関連の分野で使われます。
論理変数
A、B、x、yとかの記号であらわされて、0か1どちらかの値をとる変数。
論理演算
いわゆる掛け算割り算的なものの0,1版。
論理和…+、OR、∨で表される。
論理積…・、AND、∧で表される。
否定…NOT、￢で表される。
真理値表
| a | b | a・b | a+b | ￢a | a⊕b |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
性質
- べき等律
- 単位元の存在
- 零元
- 結合律
- 交換律
- 相補律
- 分配律
- 吸収律
- 復元律
- ドモルガンの法則
の9つの性質を持ちます。
真理値表
| a | b | a・b | a+b | ￢a | a⊕b |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
以下の性質はすべて真理値表を書けば成り立つことが分かります。
(一瞬どれも当たり前に思えますが、行列とかだと成り立たないことがあります。)
べき等律
x+x=x,
x・x=x
真理値表aをｘ、bをxとすれば成り立ちますね。
単位元の存在
x+0=x
x・1=x
零元
x+1=1
x・0=0
結合律
x+(y+z)=(x+y)+z
x・(y・z)=(x・y)・z
交換律
ｘ+ｙ＝ｙ+ｘ
x・y=y・x
相補律
x+￢x=1
x・￢x=0
分配律
x+y・z=(x+y)(x+z)
x・(y+z)=x・y+x・z
吸収律
x+(x・y)=x
x・(x+y)=x
復元律
￢(￢ｘ)=x
ドモルガンの法則
￢(x+y)=￢x・￢y
￢(x・y)=￢x+￢y
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