どうもふじわらです。今日は、三角関数の積和、和積の公式の出し方を書きます。
僕の思いで
僕が、高校生だった時、加法定理は結構簡単に覚えられたんですけど、
積和、和積の公式って、普段使わないから覚える機会は少ないし、1/2とか色々出てきてよーわからんってなってました。
テストに出た時は、うろ覚えで提出して、ぺけ食らってました。
けど、加法定理さえ覚えていたら余裕で導けてしまいます。
加法定理
まず、加法定理は
と
の二つですね。
これは、覚えないと話にならないので、覚えて下さい。
積和の公式
まずは、積和の公式から導出していきます。
完成系はこちらです。
です。今思うと結構簡単に見えますね。
ではまずはじめに(1)式を導出していきましょう。
まず、左辺の、\(\sin\alpha\cos\beta\) を出したいので、
加法定理の
$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$
の式に注目します。
上の式をよく見ると、
右辺の第一項に、\(\sin\alpha\cos\beta\) がありますね。
これについてまとめたいですよね、
でも右辺第二項の\(\cos\alpha\sin\beta\)が邪魔じゃないですか?
僕はすごい邪魔に感じます。
なので、
消し去ってやりましょう。
消し去り方はめちゃめちゃ簡単で、
$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \tag{4}$$
と
$$\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \tag{5}$$
の両式を足し合わせてしまいましょう。
((4)と(5)式の±に注意してください。)
足し合わせると、
$$\{\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha – \beta)\}=2\sin\alpha\cos\beta$$
になります。
あとは、左辺が\(\sin\alpha\cos\beta\)となるように変形してあげると、
$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)\}$$
となって完成です。
以外と簡単だったのではないでしょうか?
同様に、
(2)式も(●)式の+verから(●)式の-verを引けば出せますし、
(3)式は(●)式の+verと(●)式の-verを足し合わせたら出すことができます。
和積の公式
では、次に和積の公式を出しましょう。
和積の公式は4つあります。
まあ、和積の公式自体あまり入試とかには出ないので、覚える必要はそんなにないです。
和積の公式は、
です。
これを覚えるのは大変かつ無駄なので、導出できるようにしましょう。
先ほど導出した、
積和の公式、
$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$
で、\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと、
(6)式が出せてしまいます。
同様に、(7)式は、
$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$
で、\(\alpha=\frac{x-y}{2}\)、\(\beta=\frac{x+y}{2}\)と置くと出せてしまいます。
(8)式は、
$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \tag{3}$$
で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。
(9)式は、
$$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha – \beta)\} \tag{2}$$
で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。
まとめ
実際に導出してみると、だいぶ簡単だったのではないでしょうか?
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