今日はフーリエ級数をざっくりまとめてみました。

フーリエ級数とは

フーリエ級数とは、周期が2πの関数f(x)があったら、

\[f(x)~\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^\infty (a_n cosnx + b_n sinnx) \]

\[a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)cosnx dx\]

\[b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)sin(n+1)x dx\]

(n=0,1,2…)で表すことができるというものです。

1797年にフーリエさんが考えました。

めっちゃ頭いいですね（笑）

そして、積分区間自体は、2πの幅であればいいので[-π,π]ではなく、[0, 2π]でも大丈夫です。

また、f(x)が区分的になめらかならば、

連続な点xでは、f(x)はf(x)に収束します。

f(x)が不連続な点xでは、

\[\frac{1}{2}f(x-0) + \frac{1}{2}(x+0)}\]に収束します。

どうもふじわらです。今日は、三角関数の積和、和積の公式の出し方を書きます。

僕の思いで

僕が、高校生だった時、加法定理は結構簡単に覚えられたんですけど、

積和、和積の公式って、普段使わないから覚える機会は少ないし、1/2とか色々出てきてよーわからんってなってました。

テストに出た時は、うろ覚えで提出して、ぺけ食らってました。

けど、加法定理さえ覚えていたら余裕で導けてしまいます。

加法定理

まず、加法定理は

と

の二つですね。

これは、覚えないと話にならないので、覚えて下さい。

積和の公式

まずは、積和の公式から導出していきます。

完成系はこちらです。

です。今思うと結構簡単に見えますね。

ではまずはじめに(1)式を導出していきましょう。

まず、左辺の、\(\sin\alpha\cos\beta\)　を出したいので、

加法定理の

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

の式に注目します。

上の式をよく見ると、

右辺の第一項に、\(\sin\alpha\cos\beta\) がありますね。

これについてまとめたいですよね、

でも右辺第二項の\(\cos\alpha\sin\beta\)が邪魔じゃないですか?

僕はすごい邪魔に感じます。

なので、

消し去ってやりましょう。

消し去り方はめちゃめちゃ簡単で、

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \tag{4}$$

と

$$\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \tag{5}$$

の両式を足し合わせてしまいましょう。

((4)と(5)式の±に注意してください。)

足し合わせると、

$$\{\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha – \beta)\}=2\sin\alpha\cos\beta$$

になります。

あとは、左辺が\(\sin\alpha\cos\beta\)となるように変形してあげると、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)\}$$

となって完成です。

以外と簡単だったのではないでしょうか?

同様に、

(2)式も(●)式の+verから(●)式の-verを引けば出せますし、

(3)式は(●)式の+verと(●)式の-verを足し合わせたら出すことができます。

和積の公式

では、次に和積の公式を出しましょう。

和積の公式は4つあります。

まあ、和積の公式自体あまり入試とかには出ないので、覚える必要はそんなにないです。

和積の公式は、

です。

これを覚えるのは大変かつ無駄なので、導出できるようにしましょう。

先ほど導出した、

積和の公式、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$

で、\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと、

(6)式が出せてしまいます。

同様に、(7)式は、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$

で、\(\alpha=\frac{x-y}{2}\)、\(\beta=\frac{x+y}{2}\)と置くと出せてしまいます。

(8)式は、

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \tag{3}$$

で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。

(9)式は、

$$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha – \beta)\} \tag{2}$$

で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。

まとめ

実際に導出してみると、だいぶ簡単だったのではないでしょうか?

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2018.04.25

今日は、大学受験、高校受験を控えて、そろそろ塾に行こうかどうか迷っている人へ、塾の選び方を説明します。

塾の種類

塾の種類には、大きく分けると、対人授業か、映像授業の2つにわけることができます。

対人授業

まあ、昔ながらある塾の形ですね。

生徒がいて、講師が教えるという形をとっているやつですね。

映像授業

生徒がパソコンの前に座って、動画をみて学習するスタイルの塾です。

メリット、デメリット

とりあえず、メリット、デメリットを書いていきます。

対人授業

メリット

講師がいるので、寝ることがあまりない。(寝ても起こされる)

いい講師と巡り会えた時は成績がうなぎ上りになる。

緊張感をもって授業を受けれる。

デメリット

自分のペースで進まないので、ついていけなくなった時が地獄。

雰囲気によったら、質問しにくい。

嫌いな講師にあたったら、勉強どころじゃなくなる。

映像授業

メリット

動画なので、わからないところを何回でも見ることができる。

「今でしょ!」の人の授業を受けたりすることができる。

質の高い映像授業でわかりやすい。

デメリット

睡魔に負けると、普通に寝てしまって、塾の意味がなくなる。

携帯とか、その他もろもろの誘惑とのバトルが始まる。

負けた人は大体落ちる。

選び方

まず、お勧めは圧倒的に対人授業のほうです。

東大京大目指してるぜっていう人以外は、対人授業のほうが圧倒的にいいです。

理由その1

そもそも、勉強するという習慣がついていないので、映像授業だと、誘惑に負けがち。

理由その2

相性の合う講師を見つけて、勉強が楽しいと思えるようにする。

あの先生がいるから塾行ことか、この人の教え方は楽しいとか思うと、一層勉強へのハードルが下がります。

理由その3

授業中は監視されているようなもので、講師によっては、生徒に対して質問をしたりするので、緊張感をもって授業に臨むことができる。

理由その4

寝れない。これに尽きる。

具体的にどうするか、

まずは、金銭面の問題があるので、近所の塾を調べて、パンフ請求とかをして、値段を調べる。

次に、金銭的に行けそう、もしくは、ぎりぎりだけど、ここが気になるというところがあれば、体験授業に行く。

この塾を選ぶときに、規模が大きい、小さいで勉強ができるようになりやすい、なりにくいっていうのは、あまりないです。(まあ、確率的に、大きい小さいというのはあります。そもそもの母体数が違うので。)

もう一度言う

体験授業に行く

これがほんまに大事です。

体験授業に行って、ここ行きたい、ここだったら雰囲気的にもいいかなっていうところを見つけましょう。

行きたいところが見つかった!

そこに行きましょう。

行かせてくれる親に感謝しましょう。

行きたいところがなかった…

最悪、一番ましだと思ったところにしましょう。

それでもいややっていう人は、通信講座をやるのがお勧めです。

例えばz会とかですね。

ただ、通信講座だけじゃ自分でやる自信がないという人は、自宅で、動画をみて学習するのがお勧めです。

例えば、大学受験ディアロオンラインだと、1科目7800円/月でz会の映像授業が見放題というコスパに優れたものもあります。

国公立を目指してるっていう人は、z会がお勧めです。

まとめ

まずは、体験授業に行こう。

話はそれからだ。

今日は、個人的に思う最強の勉強法を書こうかなと思います。

僕はこれで、受験を乗り越えました。

最強の勉強法

それは、

歌いながら勉強することです。

しかも大声で。

なので場所を選びます（笑）

歌いながら勉強することのメリット。

カラオケって楽しいですよね。

実質、イヤホンして音楽流して歌えばヒトからです（笑）

歌いながら勉強すると楽しいので、勉強=楽しいものに近づいていきます。

なので、勉強すること自体が苦にならないので、さらに勉強をするようになるという好循環が生まれます。

注意点

歌う音量には注意してください。

レオ〇レスとかだと、上下左右の家に聞こえてる可能性が高いです。

あと、歌うことに集中しすぎて、勉強が進まないこともたまにあるのでそこも気を付けてください。（笑）

まとめ

とりあえず、受験生だったら、一回騙されたと思ってやってみて。

マークシート方式だから、何か裏技があるんじゃないだろうかっていう人のために特別に今回、センター数学の裏技をまとめました!!

分数が出てきたときに使える裏技

はい、結構定番かと思いますが、分数の形が出てきたときって、結構回答を絞り込みやすいです

。

そう。こんな感じで出てくるやつです。

まあ、普通に解けるなら、それがベストなんですが、どうしても解けないっていうときは、

こうします。

まず、イには絶対１は入らないです。1が入ると割り切れてしまうので、イの意味がなくなってしまうからです。

次に、イでアが割り切れないような形にはならないです。

どういうことかっていうと、例えば、イが2でアが4とかです。

4/2=2で割り切れてしまうので、これもセンター数学の答えとしては出ないです。

ルートが出てきたときに使える裏技

お次はルートです。

\(\sqrt{}\)こういうやつです。

これにも裏技が存在します。

ルートの中身には絶対、1、４、９、16…と\(x^2\)となるような形のものは入らないです。

\(\sqrt{16} = 4\)　となるので、こういう形はセンター数学では出ないです。

8とか、ルートの中身を小さくできるような数字も出ません。

比較的でやすい数字としては、2、３、５あたりです。

二桁だと11、13が割と多く出ます。

数列は逆算で割と答えが見つかります。

まず、問題の時点で、等差数列か等比数列かどうかがわかります。

この時点で、２とか５とかを当てはめていったら、いつか答えが見つかります。

わからなかったら、いろいろな数を代入させていきましょう。

まとめ

ちゃんと勉強するのが一番。

裏技に頼ってばかりでは、いい点は取れませんよ….

おすすめの参考書はこちら

今日は単回帰分析をめっちゃわかりやすく解説しようと思います。

単回帰分析って何?

単回帰分析っていうのは、データの集まりxとデータの集まりyがあるとすると、

これらの関係がy=ax+bの形で表せるのではいかと考えて、係数のaと切片のbを求めようぜっていうやつです。

これだとちょっとわかりにくいので、具体例で行くと、

土地の面積と値段のデータが

こういう感じで得られたとします。

この表を見ると、大体、値段=面積×3　くらいの値になっていますよね?

この　値段=面積×3っていうのを数学的に求めるのが単回帰分析です。

実際のやり方

まずは解析モデルをつくる!

まず、

$$ y_i = \beta_0 + \beta_1x_i + \epsilon_i  , \epsilon_i~N(0,\sigma^2)$$

という式を考えます。ここで、\(y_i\)は上の具体例でいう値段、\(x_i\)は面積のi番目の値と考えてください。(逆でも可)

そして、\(\beta_0   , \beta_1\)は回帰母数といって、y=ax+bのbとaだと思ってください。

そして、\(\epsilon_i\)はそれぞれのデータを計測したときにおこる誤差です。

上の具体例でいうと、値段は土地の面積で決まるけど、決める人によって、値段のつけ方が違うよねっていうことです。

ですが、

\(\beta_0   , \beta_1\)の値を完璧に求めることができません。

\(\epsilon_i\)っていう毎計測ごとに変わる誤差があって、しかも、誤差の大体の範囲はわかるけど、どの値が来るかまではわからないからです。

そこで、

$$\hat{y_i} = \hat{\beta_0} +\hat{\beta_1}x_i $$

という風に求めたい直線を置きます。

ここで、\(\hat{\beta_0} , \hat{\beta_1}\)は、\(\beta_0   , \beta_1\)の推定値です。

\(\epsilon_i\)を加味した式を考えようぜってことです。

実際に回帰係数を求めていく。

単回帰分析だと、実験とかをやった人は知ってるかもしれない最小二乗法を用いて回帰係数を求めます。

こういった感じで、各点から直線までの距離が一番小さくなるような線を引くのが最小二乗法です。

残差\(e_i\)を求める

まず初めに、実際の値の\(y_i\)と推定した値の\(\hat{y_i}\)の残差を求めます。

残差っていうのは、

これです。実際の値-予測の値で求めることができます。

残差を、\(e_i\)と置くと、\(e_i\)は、

$$e_i=y_i – \hat{y_i} = y_i-(\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_i) $$

で表せます。

それで、この残差が一番小さくなるような\(\hat{\beta_0}  ,\hat{\beta_1}\)を求めるんですが、

ここで、残差の平方和を取ります。残差平方和を\(S_e\)とすると、

$$S_e = \sum_{i=1}^{n}e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} \{y_i-(\hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}x_i)\}^2 $$

で表せます。

この\(S_e\)を最小にする\(\hat{\beta_0}  ,\hat{\beta_1}\)を求めていきます。

これが、大まかな単回帰分析の流れです。

\(S_e\)の最小値を求める

では、\(S_e\)を最小にする、\(\hat{\beta_0}  ,\hat{\beta_1}\)を求めていきましょう。

どうやって求めるのかというと、\(S_e\)を\(\hat{\beta_0}  ,\hat{\beta_1}\)でそれぞれ偏微分します。

偏微分すると、

$$\frac{\partial S_e}{\partial \hat{\beta_0}} = -2\sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{\beta_0} – \hat{\beta_1}x_i) = 0$$

$$\frac{\partial S_e}{\partial \hat{\beta_1}} = -2\sum_{i=1}^{n}x_i(y_i-\hat{\beta_0} – \hat{\beta_1}x_i) = 0$$

という風になります。

この上の二つの式は、

$$\hat{\beta_0}n + \hat{\beta_1}\sum_{i=0}^{n}x_i = \sum_{i=0}^{n}y_i$$

$$\hat{\beta_0}\sum_{i=0}^{n}x_i + \hat{\beta_1}x_i^2 = \sum_{i=0}^{n}x_iy_i$$

という風に変形できて、

一個めの\(\hat{\beta_0}n + \hat{\beta_1}\sum_{i=0}^{n}x_i = \sum_{i=0}^{n}y_i\)から、

という、\(\hat{\beta_0}\)を求めることができます。

\(\hat{\beta_0}\)を求めることができたので、これを二個目の式の

$$\hat{\beta_0}\sum_{i=0}^{n}x_i + \hat{\beta_1}x_i^2 = \sum_{i=0}^{n}x_iy_i$$

に代入すると、

$$(\frac{\sum_{i=0}^{n}y_i}{n} – \hat{\beta_1}\frac{\sum_{i=0}^{n}y_i}{n})\sum_{i=0}^{n}x_i + \hat{\beta_1}x_i^2$$$$ = \sum_{i=0}^{n}x_iy_i$$

となって、これを\(\hat{\beta_1}\)についてまとめれば、

という風にできます。

ここでちょっと工夫

上の式だけでもう\(\hat{\beta_0} , \hat{\beta_1}\)が求められます。

が、

\(\sum……\)とか覚えにくいですよね。

そこで、xの平方和と、xとyの偏差積和を考えます。

xの平方和\(S_{xx}\)は、

xとyの偏差積和\(s_{xy}\)は、

まとめ

こうやって、推定式\(\hat{y}\)は、

と表せることがわかりますね!

まとめると、

です。

覚えなくても、導出の流れを覚えておけば簡単に出すことができます。

こちらの本がわかりやすくてお勧めです。

今日は、勉強は量より質とか言ってる人を論破しようと思います。

質派の意見

質の高いものをすることで一度に覚えるのさ!!

みたいな意見が多いです。

量派からしてみれば、しんどいことをやりたくない言い訳にしか見えません。

量のほうが優れている理由

ここからは量の優れているところを話すよ!

そもそも時間がたつと大体のことは忘れる。

人間って特別な才能を持った日人以外で、まあ、普通といわれる人の記憶は、時間がたつとともになくなっていきます。

とまあ、ざっくりこんな感じで忘れていきます。

エビングハウスの忘却曲線というやつです。

時間がかなり立つと、ほとんど勉強したことは忘れてしまってることがわかります。

これが、ところどころ復習をすると、

こういった感じで記憶が維持されます。

なので、これを見たら、量をこなすことが大事だとわかります。

そもそも勉強の質てなんやねん

まじで、勉強の質って何なんですか。

…..。

勉強の量だったら何十回も同じ問題を繰り返したり、新しい問題を解くっていうのでよくわかります。

ですが、

質ってどう頑張っても定義することができないですよね。

京大、東大、阪大の問題が質のいい問題なんですかね?

まあ、いい問題も多いですが、カスみたいな問題もたまに交じってたりします（笑）

ぶっちゃけ量をこなせば大体覚えられる（笑）

英単語とか、歴史の語句とか、紙に書きなぐりまくれば、絶対覚えられます。

僕も高校の定期テストはこれで乗り切りました（笑）

まとめ

絶対、勉強するなら質より量を重視してやったほうがいい。

個人的に、質が大事とか言ってる人はそんなに成績がいい気がしないです。

単に勉強したくないための甘えで言ってるように聞こえます。（笑）

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今日は補数表現について解説しようと思います。

補数表現って何?

補数表現っていうのは、ざっくり説明すると先頭ビットが1の時負の数を表すっていうものです。

具体例を出すと、5ビットの2進数があるとすると、10011は負を、00111は正の数を表しています。

求め方

さっきの例の10011は先頭ビットが1だから負の数であることがわかりますね。

けど、10進数だといくつになるかわからないですね。

注:10011で0011をみて-3と答えるはダメです。間違いです。

では、どうやって変換するかやっていきましょう。

まず、1の補数を取ります。

1の補数というのは、ビット列を全て反転させることです。

10011の場合は01100ですね。

そして、1の補数を取った後に最低位ビットに1を足します。(これが2の補数です)

そうすると、01101となりますね。

これは10進数では13です。

10011の2の補数を取って10進数に直したものにマイナスをつけることで、10011の値を求めることができます。今回は-13となりますね。

マイナスの10進数を二進数にする場合も同じ手順でできます。

10進数のマイナスを取る→二進数にする→2の補数を取る→完了

例: -5を二進数にしてみましょう上の手順のようにして、

(5ビット列とします)

-5→5→00101→11011

10進数で-5は2進数で11011となることがわかります。

まあ、本当に変換できてるのか不安なので、11011を10進数に戻してみましょう。

11011→2の補数をとって00101→10進数で5で→先頭ビットが1だったので-5ということがわかりますね。

四則演算

補数表現を使うと

01011-00111とか計算できてしまいます。

上の例だと、-00111が厄介ですね。

ですが、これの2の補数を取ることで、

01011+11001という形で表せます。

あとは、足すだけです。

足すと、00100となります。

(桁上がりは無視してください)

これを10進数に戻すと4です。

01011-00111=11-7=4であってますね。

まとめ

補数表現はめっちゃ簡単。

こういうことが、コンピュータの内部で起こっています。

今日は大学に行く意味について話したいと思います。

特に、高校生に読んでほしいです。

大学で得られるもの

一番大学に行くので一番得られる大事なものっていうのは、「大卒」っていうカードです。

極論を言うと、ごく一部の人以外は、みんなが大学に行ってるしとりあえず行っとこ。とか、就活で高卒はきついからとりあえず大卒のカードを得るために大学に行っておこうくらいのノリです。

大学とかどうでもええ氏っていう人へ

別にそれはそれでかまいません。

ですが、いざ、働いてから、自分のしたいことが見つかった時や、仕事を変えようと思ったときに、高卒だとやっぱりそれだけで、フィルターをかけられます。

私、結婚するからいいもん!っていう人は、それはそれで構わないですけど、

付き合ってるときは優しい彼氏でも、いざ結婚したら、くそ男だったっていうときに、家を出ていくにも、高卒だと、仕事を見つけることすら苦労します。

最悪、一生虐げられたまま人生を終える可能性があります。

まとめ

用は、金銭的に大学に行ける環境に身があるなら、勉強がしんどいから、大学に行かないとかじゃなくて、しんどくても勉強して大学に行って卒業することがいざッていうときの保険になります。

今日は、新しいことを学ぶのが毎回毎回難しい理由のすべてを話そうと思います。

資格の勉強や、受験、プログラミングの勉強とか料理の勉強とかにすっごい当てはまります。

主な難しい理由

まず、新しいことを学ぶときに、自分の脳内には1、2割くらいの知識量しかないような状態じゃないですか。

なので、勉強するものすべての言葉の意味がいまいちよくわからない。

しかも、よくわからない言葉を、よくわからない言葉で説明されてる。っていうのばっかだと思います。

わかりやすくいったら、小中の算数をさぼってた子が、高校で三角関数に出会う感じです。

「分数って何？ラジアンってなに？三角比って何？」ってなるわけです。

そりゃ当然頭の中がパニックになります。

ここまで極端な例はないとしても、知らない言葉を調べるために、それを説明している知らない言葉の説明をしている、知らない言葉を調べるみたいなことはよくあると思います。

これが、大体の難しい理由です。

調べまくるから、効率が悪い感じするし、おバカな自分感も出てきてつらい。

終わりが見えない

そのジャンルに関しての知識がないと、ジャンルの範囲がどこまでっていうのがわかりにくいです。

なので、今勉強していることが、世界中の海原の中の琵琶湖分くらいと思ったりしてしまって、途方に暮れて、やる気が出なくなってしまう。っていうのも一つの原因だと思う。

解決策

個人的には、新たに勉強するジャンルの全容をまずざっくりつかんで、どこまで学ぶべきかをある程度把握しておくことが大事だと思います。

まとめ

気力があれば意外といけたりする。