数学 | AboeBlog https://aboeblog.com 全日本人プログラミング可能計画 Tue, 27 Oct 2020 14:07:32 +0000 ja hourly 1 https://wordpress.org/?v=5.5.6 139919897 [高校数学][三角関数]世界一わかる積和、和積の公式の出し方(たぶん) https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/%e9%ab%98%e6%a0%a1%e6%95%b0%e5%ad%a6%e4%b8%89%e8%a7%92%e9%96%a2%e6%95%b0%e4%b8%96%e7%95%8c%e4%b8%80%e3%82%8f%e3%81%8b%e3%82%8b%e7%a9%8d%e5%92%8c%e3%80%81%e5%92%8c%e7%a9%8d%e3%81%ae%e5%85%ac/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=%25e9%25ab%2598%25e6%25a0%25a1%25e6%2595%25b0%25e5%25ad%25a6%25e4%25b8%2589%25e8%25a7%2592%25e9%2596%25a2%25e6%2595%25b0%25e4%25b8%2596%25e7%2595%258c%25e4%25b8%2580%25e3%2582%258f%25e3%2581%258b%25e3%2582%258b%25e7%25a9%258d%25e5%2592%258c%25e3%2580%2581%25e5%2592%258c%25e7%25a9%258d%25e3%2581%25ae%25e5%2585%25ac https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/%e9%ab%98%e6%a0%a1%e6%95%b0%e5%ad%a6%e4%b8%89%e8%a7%92%e9%96%a2%e6%95%b0%e4%b8%96%e7%95%8c%e4%b8%80%e3%82%8f%e3%81%8b%e3%82%8b%e7%a9%8d%e5%92%8c%e3%80%81%e5%92%8c%e7%a9%8d%e3%81%ae%e5%85%ac/#respond Mon, 26 Nov 2018 00:49:40 +0000 https://aboeblog.com/?p=792  

どうもふじわらです。今日は、三角関数の積和、和積の公式の出し方を書きます。

 

僕の思いで

僕が、高校生だった時、加法定理は結構簡単に覚えられたんですけど、

積和、和積の公式って、普段使わないから覚える機会は少ないし、1/2とか色々出てきてよーわからんってなってました。

テストに出た時は、うろ覚えで提出して、ぺけ食らってました。

 

けど、加法定理さえ覚えていたら余裕で導けてしまいます。

 

加法定理

まず、加法定理は

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \tag{★}$$

と

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \tag{●}$$

の二つですね。

これは、覚えないと話にならないので、覚えて下さい。

 

積和の公式

まずは、積和の公式から導出していきます。

完成系はこちらです。

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\}　\tag{1}$$
$$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha – \beta)\} \tag{2}$$
$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \tag{3}$$

です。今思うと結構簡単に見えますね。

ではまずはじめに(1)式を導出していきましょう。

まず、左辺の、\(\sin\alpha\cos\beta\)　を出したいので、

加法定理の

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

の式に注目します。

上の式をよく見ると、

右辺の第一項に、\(\sin\alpha\cos\beta\) がありますね。

これについてまとめたいですよね、

でも右辺第二項の\(\cos\alpha\sin\beta\)が邪魔じゃないですか?

僕はすごい邪魔に感じます。

なので、

消し去ってやりましょう。

消し去り方はめちゃめちゃ簡単で、

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \tag{4}$$

と

$$\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \tag{5}$$

の両式を足し合わせてしまいましょう。

((4)と(5)式の±に注意してください。)

足し合わせると、

$$\{\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha – \beta)\}=2\sin\alpha\cos\beta$$

になります。

あとは、左辺が\(\sin\alpha\cos\beta\)となるように変形してあげると、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)\}$$

となって完成です。

以外と簡単だったのではないでしょうか?

 

 

同様に、

(2)式も(●)式の+verから(●)式の-verを引けば出せますし、

(3)式は(●)式の+verと(●)式の-verを足し合わせたら出すことができます。

 

 

和積の公式

では、次に和積の公式を出しましょう。

和積の公式は4つあります。

まあ、和積の公式自体あまり入試とかには出ないので、覚える必要はそんなにないです。

 

和積の公式は、

$$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \tag{6}$$
$$ \sin x – \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \tag{7}$$
$$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \tag{8}$$
$$ \cos x – \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \tag{9}$$

 

です。

これを覚えるのは大変かつ無駄なので、導出できるようにしましょう。

先ほど導出した、

積和の公式、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$

で、\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと、

(6)式が出せてしまいます。

 

同様に、(7)式は、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$

で、\(\alpha=\frac{x-y}{2}\)、\(\beta=\frac{x+y}{2}\)と置くと出せてしまいます。

 

(8)式は、

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \tag{3}$$

で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。

 

(9)式は、

$$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha – \beta)\} \tag{2}$$

で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。

 

まとめ

実際に導出してみると、だいぶ簡単だったのではないでしょうか?

 

数学の勉強にこちらもどうぞ

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2018.04.25

 

 

 

 

 

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これから、受験って人向けです。大体3か月あれば効果は出ます。

 

主に模試、受験向けの勉強法です。

 

青チャートをひたすらやる。

はい、定番ですね。わりとすぐ思いつきます。

というか、そこそこの大学を受けるのであれば、青チャートをやりつくすに尽きます。

巷では、青チャートだけで東大に行けるともいわれています。(まあ、そんな人見たことないですが（笑）)

 

では、そんな青チャートを最大限生かす方法を教えます

青チャートのやり方

1:わからなくても理解せずにとりあえず解き方を覚える。

なんでこういう解き方をするのかよくわからないけど、「こういう問題が来たら、こういう解き方をする。」っていうテンプレートを作るのが目的です。

ぶっちゃけ、受験程度、模試程度の数学の問題パターンなんて、京大、東大を含めてもそんなにないです。

なので、この問題にはこの解法、あの問題にはあの解法っていうパターンを覚えたほうが早いし楽だし、結果もすぐ出ます。

 

 

具体的なやり方

青チャート

1周目:とりあえず最初から例題だけを解いていきます。途中わからない問題が出たら、答えをみてノートに写します。そんな感じで最後までやりましょう。途中の練習問題とか章末問題はやらんでいいです。

 

2周目、3周目:1周目と同様のことをします。1周目よりも絶対早く最後までできるようになってるはずです。

 

4周目:1周目と同じように最初から解いていきます。途中解き方を忘れた、わからない問題に当たった時は、答えを見ずに自分で考えてみます。30分たっても考え付かなかったら答えを見てノートに写しましょう。

5周目以降:もうほとんど解けるはずです。このころには、模試で偏差値60は出せてるはずです。そろそろ、違う参考書をやり始める時期です。

 

 

自分で解き方を考えないでええんかい？

少なからず、自分の頭で考えないと意味がないように思えますよね。

確かに自分の頭で解き方を考えるのは大事です。

しかし、

自分の頭で考えるにしても、考えるベースが必要ですよね。

そのベースがない状態でいくら考えても、わりとまあまあ頭がよくないと考え付くことができないのは明らかですよね。

 

なので、自分の頭で考えれるようになるためのベースを作る目的として、自分で解き方を考えずに、答えの解き方を覚えるというやり方をとっています。

 

 

まとめ

青チャートの例題の解き方をまずはすべて覚える。

覚えれるまでひたすら繰り返す!!!

 

長々と書きましたが、要は上の2点が一番大事です。

 

 

 

]]> https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/post-376/feed/ 0 376 ラプラス変換わかりやすくまとめたったー https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/post-282/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=post-282 https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/post-282/#respond Mon, 15 Jan 2018 02:55:10 +0000 https://aboeblog.com/?p=282 どうも、ふじいいいいいいいわらです。

今日はラプラス変換についてまとめてみようかなと思います。

 

 

 

そもそもラプラス変換って何をしてるの?

変換つながりでいうと、フーリエ変換というものがありましたね。

フーリエ変換は、ざっくりいうと、アナログの入力波をデジタルの波に変えてしまおうというものでした。(正確には、入力波を周波数ωとその時の波の大きさで表したらどうなるかっていうことです。)

主に、情報工学で用いられます。

 

 

では、ラプラス変換も何かアナログからデジタルに変換する的なすごい何かと思うじゃないですか、

 

ラプラス変換って実は、このままの形だと、微分や積分すげぇめんどくせぇからちょっといじって微分積分楽にしてしまおうぜというだけのものです。(それ以外に深い意味はないと思う。)

 

ラプラス変換の基本公式

ラプラス変換するための公式は、[0,∞)である区分的な連続関数f(t)があって、複素数 s があるとしたら、

 

$$\mathcal{L} : f(t) \to F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt$$

 

がラプラス変換の基本公式です。

そして、F(s)を\(\mathcal{L}[f(t)]\)(または、\(\mathcal{L}[f]\)、\(\mathcal{L}(s)\)\)、と表して、f(t)のラプラス変換といいます。

 

主な関数のラプラス変換

主な関数のラプラス変換を下の表にまとめてみました。

これさえ覚え解けば、大学のテストは余裕のよっちゃん。

f(t)F(s)\(e^{at}f(t)\)F(s-a)
1
1/s\(e^{at}\)\(\frac{1}{s-a}\)
t\(\frac{1}{s^{2}}\)\(e^{at}t\)\(\frac{1}{(s-a)^2}\)
\(t^2\)\(\frac{2}{s^3}\)\(e^{at}t^2\)\(\frac{2}{(s-a)^3}\)
................
\(t^n\)\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)\(e^{at}t^n\)\(\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\)
sinωt
\(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\)\(e^{at}sin\omega t\)\(\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}\)
cosωt\(\frac{s}{s^2+\omega^2}\)\(e^{at}cos\omega t\)\(\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}\)

はい、この表のf(t)が1の時と、tの時を見比べてみてください。

1をtにするには積分が必要でしたね、それがラプラス変換をした後を見ると、

1をラプラス変換したものに1/sをかけるとtをラプラス変換した形になってるんです!!

 

同様にtを1にするには微分が必要ですが、ラプラス変換後は、tのラプラス変換にsをかけるだけになってることが分かりますね!!

 

 

つまり!!

ラプラス変換は、くそめんどくせぇ微分積分を掛け算、割り算だけでできるようにするためにあるのです。微分積分苦手な方はラッキーですね。

 

微分されたラプラス変換

f(t)を微分したf'(t)をラプラス変換するとどうなるか、

 

$$\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(+0)$$

こうなります。

証明厨のために証明する

とりあえず

\(f(+0)=\lim_{x\to{+0}}f(x)\)とします。

部分積分も使います。

\(\mathcal{L}[f'(t)]=\int_0^\infty e^{-st}f7(t)dt=[e^{-st}f(t)]_0^\infty +s\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt=sF(s)-f(+0)\)

 

となって(とりあえず証明終了)、先ほどの公式

$$\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(+0)$$

を繰り返し使えば、

$$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)=s^nF(s)-s^{n-1}f(+0)-s^{n-2}f'(+0)-…..-f^{(n-1)}(+0)$$

が導けます。

 

この二つの公式は、常微分方程式を解くときに使いますので覚えといてくださいね。

 

積分されたラプラス変換

積分したf(x)をラプラス変換すると

$$\mathcal{L}[\int_0^t f(x)dx]=\frac{1}{s}F(s)$$

 

となります。

証明

\(g(t)=\int_0^t f(x)dx\)とすれば、g'(t)=f(t), g(0)=0となるので、先ほどの微分の公式

$$\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(+0)$$

とあわせて、

$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{L}[g'(t)]=sG8s)-g(0)=sG(s)$$

となって、証明終了!

 

 

まとめ

ラプラス変換は、工学系にいるなら覚え解いて絶対損はない。

ラプラス変換を、プログラムで実装することで、微分積分のプログラム開発が楽になるかも。

まあ、

文系は知らなくてもいいや。

 

 

]]> https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/post-282/feed/ 0 282 数学の偏差値を上げる参考書 40から70も夢じゃない[高校生](上がらない人必見) https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/%e6%95%b0%e5%ad%a6%e3%81%ae%e5%81%8f%e5%b7%ae%e5%80%a4%e3%82%92%e4%b8%8a%e3%81%92%e3%82%8b%e5%8f%82%e8%80%83%e6%9b%b8/?utm_source=rss&utm_medium=rss&utm_campaign=%25e6%2595%25b0%25e5%25ad%25a6%25e3%2581%25ae%25e5%2581%258f%25e5%25b7%25ae%25e5%2580%25a4%25e3%2582%2592%25e4%25b8%258a%25e3%2581%2592%25e3%2582%258b%25e5%258f%2582%25e8%2580%2583%25e6%259b%25b8 https://aboeblog.com/%e5%8b%89%e5%bc%b7/math/%e6%95%b0%e5%ad%a6%e3%81%ae%e5%81%8f%e5%b7%ae%e5%80%a4%e3%82%92%e4%b8%8a%e3%81%92%e3%82%8b%e5%8f%82%e8%80%83%e6%9b%b8/#respond Wed, 27 Dec 2017 08:36:40 +0000 https://aboeblog.com/?p=203

数学の偏差値がなかなか上がらない…
数学が全然できるようにならないから、受験は文系に進もうかなと考えているそこの高校生。

これさえやれば、ぐんぐん数学の偏差値が上がる方法を特別に教えます。

前書き(半分自慢なので読み飛ばしてください)

こいつ偉そうなこと言ってるけど、ほんとに数学出来るのか..?と思ったあなたごもっともです。

実は、私も全然数学ができませんでした。
中学数学の移項が中一のころできなかったレベルです。

高2最初のZ会の模試の数学の偏差値は40とまあまあやばかったです。
ですが, 今回の参考書で偏差値70くらいまで上げれました。

偏差値を上げる参考書

偏差値を上げる方法はめちゃめちゃ単純です。

“青チャート”をひたすら解き続けるだけです。

　

本当に青チャートを解き続けるだけで数学の偏差値がめっちゃ上がります。

 

なぜ青チャートなのか

数学の参考書は各社から出版されおり,かなりたくさん種類がある中でなぜ青チャートなのか説明します。

解説がすごい詳しい

青チャートはほかの同レベルの参考書に比べて解説がかなり詳しく書いてあります。
(他の参考書は、比較的簡単な問題は、答えだけでその答えに至ったプロセスがなかったり..)

なので、問題がわからないから解説を見たのに、結局何を言っているかわからなかったぜ
という本末転倒なことになりません。

青チャートは、簡単な問題でも、答えに至ったプロセスが詳しく書かれているので、非常にわかりやすいです。

問題の網羅性が高い

青チャート(1A)とかなら、1冊で1Aの範囲ほぼすべてに対応できます。

青チャートの内容を全部覚えたら、模試とか定期テストで、対応する範囲は9割とれるようになります(経験談)

つまり、あなたが受験生で、模試の点数を上げたければ1A、2B、(3)のそれぞれの青チャートを買って、すべての問題を網羅すれば、模試の点数はかなり上がるということです。

問題の量が多い

青チャートは問題の量が多いです。

例題で数百問もあるうえに、演習問題が一つの章に７～８問くらい(合計百数問)ついてるので、理解した内容を、新しい問題で、ちゃんと理解できているかを試すことができます。

 

デメリット

青チャートの最大のデメリットは、

重たい、分厚いことです。

学校でやろうと思うと、教科書と青チャート1冊でかなりカバンがパンパンになります（笑）

 

まとめ

数学の偏差値を上げる参考書としては、

問題の量が多く、解説も非常に詳しい青チャートがお勧めです。

1冊2000円くらいですが、数学の偏差値を上げることが出来るので、

今すぐ買って、勉強することをお勧めします。

数1A用です

数2B用です

早く始めれば始めるほど、偏差値もどんどん上がっていきます。
頑張っていきましょう。

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基本のデータ構造

プログラミング言語がそもそも持っている原始的な構造を以下に書いときます。

これがないと始まらないってやつです。

 

変数

ある型(int, double, float, charなどなど)の値を、1つのセルに格納する仕組みのことです。

プログラミングしたことがある人にとっちゃ息をするレベルに等しい。

配列

同じ型の値をメモリ上の連続したセルに格納する仕組みのこと。

これも、基本。

ポインタ

ここで、プログラミングで詰む人が出てくるところです。

なれれば簡単!

セルの先頭アドレスを格納する仕組みです。

これだと、あまり意味が分からないと思うので、詳しく説明すると、

int x=5 、int *p　っていうのがあるとすると、

p=&x とすることで、ポインタpにxのアドレスの値を格納するということです。

 

たぶんポインタが分からんて人は、ポインタ値とアドレスがごっちゃになってるからだと思います。例えば、さっきの例をc言語で、 printf(“%d”,*p)としたら、5 と表示されます。

この*pはポインタのpじゃなくて、変数としてpの中身を見るという意味でつかわれています。

詳しくは、別機会で。

連結リスト

ポインタを再帰的に用いて作る格納構造です。

イメージとしては、ある一つの格納場所に、次の格納場所の場所が書いてあって、それを追っていくことで、データを取り出していくというものです。

循環リストや双方向リストなどのいろいろな種類があります!

 

 

 

 

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今回は、テスト勉強と、オーダ記法が分からないよぉ～ ふぇぇ～な友達のためにわかりやすくオーダ記法を開設したいと思います。（ふぇぇ～言うやつは大体オタク

主に、数学ではなく情報工学の内容です。

 

 

  1. オーダ記法ってそもそも何？
  2. オーダ記法活用の場所
  3. オーダ記法の具体的な書きかた
  4. オーダ記法の練習問題

注意：間違ってるかもしれませんので鵜呑みにしないでください責任は取りかねますm(_)m

オーダ記法ってそもそも何？

今回は、無限大での場合だけで考えます。

オーダ記法というのは、計算量などの上下界を評価するときにつかいます。

これだけだとよくわからないと思うので、イメージとしては、nこの処理をするのに、n+100時間、かかるプログラムがあるとすると、ｎが∞個の処理をしようとしたときにかかる時間はだいたい、n時間、処理に時間がかかるっていうことです。(数学の極限です。nが無限大になったときは、100を無視しても構わないというやつです。)

この、「n+100時間かかる処理は、n時間で近似して評価できる」というのが、オーダ記法です。

 

オーダ記法活用の場所

主に、情報工学の分野でアルゴリズムの計算量を評価するときに使います。

特に、アルゴリズムでは、時間計算量と領域計算量があって、最近はパソコンの性能がものすごく上がったので、領域計算量よりも時間計算量のほうが圧倒的に重視されています。

 

 

オーダ記法の具体的な書きかた

まず、オーダ記法には3種類の数式があります。

 

  1. \(T(n)=O(f(n))\)
  2. \(T(n)=\Omega(f(n))\)
  3. \(T(n)=\Theta(f(n))\)

1.\(T(n)=O(f(n))\)の意味

\(O(f(n))\)の読み方は、「オーダf(n)」です。

では、

\(T(n)=O(f(n))\)の意味は\(T(n)\)の発散の速度はだいたい\(f(n)\)と同じくらいという意味です。例:\(n^5+n+8=O(n^5+n)\)といった感じ。

詳しくは

\(T(n)=O(f(n))\Leftrightarrow  \exists n_0 , c(>0) , s.t. \forall n \geq n_0 , T(n) \leq cf(n)\)

です。

 

 

2.\(T(n)=\Omega(f(n))\)

\(\Omega(f(n))\)の読み方は、「オメガf(n)」です。

\(T(n)=\Omega(f(n))\)の意味は\(T(n)\)の発散の速度はだいたい\(f(n)\)と同じくらいという意味です。例:\(n^5+n+8=\Omega(n^5)\),\(n^5+8=\Omega(n^4)\)といった感じ。

詳しくは、\(T(n)=O(f(n))\Leftrightarrow  \exists n_0 , c(>0) , s.t. \forall n \geq n_0 , cf(n) \leq T(n) \)

 

3.\(T(n)=\Theta(f(n))\)

\(\Theta(f(n))\)の読み方は、「シータf(n)」です。

\(T(n)=\Theta(f(n))\)の意味はT(n)の発散速度はだいたいf(n)と同じくらいという意味です。

 

詳しくは、\(T(n)=￥Theta(f(n))\Leftrightarrow  T(n)=O(f(n)) かつ T(n)=\Omega(f(n)) \) です。

 

時間計算量でよく出てくる関数

上記の、オーダ、オメガ、シータと、\(n, n^2, n^3, n\log n, \sqrt{n}, \log{2}n\)などがよく時間計算量を評価するときに使われます。

 

一般的に、現代のPCは性能が昔の何千何万倍と違うので、領域量はほとんど気にされません。

圧倒的に、時間計算量が重視されます!!

 

 

どんなアルゴリズムがいいとされるの?

ざっくりまとめると\(O(n^k)\) (kは定数)の形で表されるものがいいです。

\(O(k^n)\)のように(kは定数)指数関数的に増えていくアルゴリズムはよろしくありません。

 

 

次回は、基本的なデータ構造についてまとめます。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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