今日は補数表現について解説しようと思います。

補数表現って何?

補数表現っていうのは、ざっくり説明すると先頭ビットが1の時負の数を表すっていうものです。

具体例を出すと、5ビットの2進数があるとすると、10011は負を、00111は正の数を表しています。

求め方

さっきの例の10011は先頭ビットが1だから負の数であることがわかりますね。

けど、10進数だといくつになるかわからないですね。

注:10011で0011をみて-3と答えるはダメです。間違いです。

では、どうやって変換するかやっていきましょう。

まず、1の補数を取ります。

1の補数というのは、ビット列を全て反転させることです。

10011の場合は01100ですね。

そして、1の補数を取った後に最低位ビットに1を足します。(これが2の補数です)

そうすると、01101となりますね。

これは10進数では13です。

10011の2の補数を取って10進数に直したものにマイナスをつけることで、10011の値を求めることができます。今回は-13となりますね。

マイナスの10進数を二進数にする場合も同じ手順でできます。

10進数のマイナスを取る→二進数にする→2の補数を取る→完了

例: -5を二進数にしてみましょう上の手順のようにして、

(5ビット列とします)

-5→5→00101→11011

10進数で-5は2進数で11011となることがわかります。

まあ、本当に変換できてるのか不安なので、11011を10進数に戻してみましょう。

11011→2の補数をとって00101→10進数で5で→先頭ビットが1だったので-5ということがわかりますね。

四則演算

補数表現を使うと

01011-00111とか計算できてしまいます。

上の例だと、-00111が厄介ですね。

ですが、これの2の補数を取ることで、

01011+11001という形で表せます。

あとは、足すだけです。

足すと、00100となります。

(桁上がりは無視してください)

これを10進数に戻すと4です。

01011-00111=11-7=4であってますね。

まとめ

補数表現はめっちゃ簡単。

こういうことが、コンピュータの内部で起こっています。

今日はカルノー図で、座標ラベルが00,01,10,11じゃなくて、00,01,11,10となる理由について解説しようと思います。

理由

まあ、まずは4変数の論理式をカルノー図に適当に起こしたものを考えましょう。

とまあ、こんな感じのカルノー図があったとしましょう。

カルノー図の座標ラベル(行と列に振ってある00とか11とか01のこと)は隣り合うもの同士が1ビットしか変わらないという約束で値がつけられています。

難しく言うと、ハミング距離が1しか違わないということ。

（ハミング距離とは、2個のnビット論理列を比較したときにnビット中、kビットが異なることをハミング距離ｋといいます。1111と1010だったらハミング距離は2）

そこで、カルノー図をまあ、使える方はわかると思うんですけど

、

この、緑と赤茶色で塗られてるマス同士って、隣接してますよね?

(隣接してるのが分からないっていう人は、もうちょっと前から勉強して

、とりあえずカルノー図を使えるようになりましょう)

10→00だと1ビットしか変わらないから隣接してますよね。

もし、これが

00→01→10→11っていう順番だったらどうなるでしょうか?

00→01→10→11ときて、11に隣接するものは01か10のどちらかで00ではなくなりますね。

これが00,01,10,11とならない理由です。

「もっと詳しく解説しろよ

このはげぇーっ」

って声が聞こえた気がしたのでもう少し詳しく解説すると、

(端同士である00と11は隣接していないことに注意！！)

ちょっと醜いかもしれませんが、隣り合う座標どうしは隣接していて、そこからオレンジと緑の線でつないだ座標同士もそれぞれ隣接していて、解けないことはないっちゃないんですが、

まあ、一般大学生にはぱっと見でわかりにくいよねっていうことで、

座標ラベルが00,01,10,11じゃなくて、00,01,11,10という風に設定してるだけの話です。

論理回路をわかりやすくまとめてみたも参考にしてください。

論理代数とは

0と1だけを扱う代数です。

0と1しか出てきません。

コンピューター関連の分野で使われます。

論理変数

A、B、x、yとかの記号であらわされて、0か1どちらかの値をとる変数。

論理演算

いわゆる掛け算割り算的なものの0,1版。

論理和…+、OR、∨で表される。

論理積…・、AND、∧で表される。

否定…NOT、￢で表される。

真理値表

性質

• べき等律
• 単位元の存在
• 零元
• 結合律
• 交換律
• 相補律
• 分配律
• 吸収律
• 復元律
• ドモルガンの法則

の9つの性質を持ちます。

真理値表

以下の性質はすべて真理値表を書けば成り立つことが分かります。

(一瞬どれも当たり前に思えますが、行列とかだと成り立たないことがあります。)

べき等律

x+x=x,

x・x=x

真理値表aをｘ、bをxとすれば成り立ちますね。

単位元の存在

x+0=x

x・1=x

零元

x+1=1

x・0=0

結合律

x+(y+z)=(x+y)+z

x・(y・z)=(x・y)・z

交換律

ｘ+ｙ＝ｙ+ｘ

x・y=y・x

相補律

x+￢x=1

x・￢x=0

分配律

x+y・z=(x+y)(x+z)

x・(y+z)=x・y+x・z

吸収律

x+(x・y)=x

x・(x+y)=x

復元律

￢(￢ｘ)=x

ドモルガンの法則

￢(x+y)=￢x・￢y

￢(x・y)=￢x+￢y

今回は、パソコン内でどのようにマイナス、負数が表現されているのかをまとめてみやした

はい、負数の表示の方法には符号絶対値表現と補数表示があります。

以下はすべて2進数で考えてください。

符号絶対値表示

例えば、二進8ビットのデータがあるとしましょう。

10101101とか、11111011とか01011110です。

符号絶対値表示において、+、-といった符号を表すものは最上位のビットつまり

一番左端のビットによって決まります。そして残りのビットで10進絶対値部分、123,　23,　67とかを表します。

なので、8ビットだと表せる10進数は、-127から127までの間しか表せません。

簡単に言うと、8ビットの場合は一番左の最上位ビットが0なら符号が+、1なら-で、絶対値は残りの7ビットを普通に10進数に変換してしまえばいいということです。逆もしかりです。

感のいい人は気づいたかもしれませんが、10進表現の0は2進表現で2通りの表し方があるんです。8ビットの場合、10000000と00000000の二つです。

補数表示

コンピュータの中では、マイナスの数はその数の絶対値の補数をとって表します。

1の補数と2の補数があります。

1の補数

1の補数は単にビットを反転させたものです。

たとえば、10110の補数は01001です。

簡単ですね。

2の補数

2の補数は1の補数に1を加えたものです。

例えば、100011の2の補数は011101です。(011100に1を足した)

ここで問題です。

5の補数は？？

8ビットで答えてください。

5は00000101なので、5の2の補数は11111011となる。

次の問題です。

11101110を10進数に戻してください。

11101110は最上位ビット(左端)が1だからマイナス。

そして、11101110の2の補数をとって絶対値を求める。補数は00010001に1を足すから、00010010となって、16+2＝８で、

答えは-8！

2の補数による減算

さあさあ、ここから補数は便利です。

二進数同士の引き算ってめんどくさいじゃないですか。

引き算って、よく考えるとa-b=a+(-b)で表せるじゃないですか、-bってbの補数をとれば簡単に得られますね。

といった具合に補数を使うと二進数の引き算は簡単になります。

例、A-Bを計算します。

A>Bの場合

A=01011111(95)

B=00001100(12)の場合

A-B=A+(-B)を計算すればいいですね。

Bの補数は、11110011+1=11110100だから、

01011111+11110100=101010011となり9ビットになってしまいますが、最上位ビットは無視してかまわないです。なのでA-B=01010011(83)となります。

A<Bの場合

基本的にやることはA>Bの時と同じです。

ただ、計算結果が補数の形で現れるので、10進数に戻す時に、計算結果の補数をとって絶対値を出してそれにマイナスをつければいいだけです。

今日は、論理回路を誰でもわかるようにまとめてみようと思います。

そもそも論理回路とは

0と1の二進表現で表される入力信号、x1,x2,x3,…の値に応じて、所望の出力信号y1,y2,y3,…を出すための関数を論理ゲートの組み合わせで表したもの

はよくわかりませんね。

砕いていうと、いろんな回路の部品を組み合わせて、それに信号を送ったときに、自分の欲しい出力の信号を得るための回路って感じですね。

例えば、二つの入力信号に対して、それらを足し合わせた結果を出す回路とか。

要は、パソコンとかテレビの中に入ってる緑色の基盤の設計です。

論理回路を作るときに大事なこと

• ゲート数(部品数)を少なくする。
• 同一ゲートのみ用いる
• 応答時間を少なくする。

の三つです。

ゲート数を少なくすることで基盤を小っちゃくすることができて、いろんな機械とかに入れることができるし、その分値段もお安くなります。

同一ゲートのみを用いることで、回路を作る際に、コストを安くできるということです。

応答時間を少なくするっていうのは、処理にかかる時間を減らす、つまり、無駄な回路を組まない、スマートな回路を組みましょうって話です。

遅いスマホとかpcはくそですもんね。

論理ゲートの種類

真理値表

論理ゲートには、AND,OR,NOT,NAND,NOR,EX-ORがあります。

ANDゲート

こんなやつです。論理積ともいいます。

y=a・b　で表されます。

上の真理値表からもわかるように、

aとbどちらも1じゃないと、出力yが1にならない

というゲートです。

どちらか片方が0なら出力は絶対0になるのです。

例えば、イケメンとイケメンがナンパしてきたら全然ありだけど、イケメンとブサイクがナンパしてきたら、A●の撮影かな、マジ無理ってなるのと一緒です。

やはり世はイケメンが有利

ブサイクにも人権をおくれ

ORゲート

こんなやつです。論理和とも言います。

y=a+bで表されます。

これは、

aとｂどちらかが1ならば、出力yが必ず1になる

ゲートです。

例えば、イケメンとブサイクの出てるテレビは見るけど、イケメンが一人もいない、つまりブサイクしか出ていないテレビは見ないのと一緒です。

イケメンになりたい

NOTゲート

こんなやつです。単に入力の否定をとっているだけです。

y=￢aで表されます。

入力aの値に対して、aと真逆の出力yを返すものです。

あれです、話を振ったときに、「いや、」から話始めるやつを思い浮かべていただければいいです。

NAND、NORゲート

NANDゲート

ORゲート

NAND、NORゲートは、ANDゲート、ORゲートの否定をとったものです。

ANDとORの出力の0と1を逆にするだけです。

EX-ORゲート

Exclusive orゲート、または排他的論理和と言います。

こんなやつ。

y=a⊕b=a￢ｂ+￢ab

で表される。

つまり、aとbどちらも異なる入力の時にのみ、出力yは1を出すというゲート。

例えば、ガチャを引いて、両方とも高レアだけどダブってると残念だけど、両方ともレアでダブってなかったらうれしい感じ。