どうも、ふじいいいいいいいわらです。
今日はラプラス変換についてまとめてみようかなと思います。
そもそもラプラス変換って何をしてるの?
変換つながりでいうと、フーリエ変換というものがありましたね。
フーリエ変換は、ざっくりいうと、アナログの入力波をデジタルの波に変えてしまおうというものでした。(正確には、入力波を周波数ωとその時の波の大きさで表したらどうなるかっていうことです。)
主に、情報工学で用いられます。
では、ラプラス変換も何かアナログからデジタルに変換する的なすごい何かと思うじゃないですか、
ラプラス変換って実は、このままの形だと、微分や積分すげぇめんどくせぇからちょっといじって微分積分楽にしてしまおうぜというだけのものです。(それ以外に深い意味はないと思う。)
ラプラス変換の基本公式
ラプラス変換するための公式は、[0,∞)である区分的な連続関数f(t)があって、複素数 s があるとしたら、
$$\mathcal{L} : f(t) \to F(s)=\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt$$
がラプラス変換の基本公式です。
そして、F(s)を\(\mathcal{L}[f(t)]\)(または、\(\mathcal{L}[f]\)、\(\mathcal{L}(s)\)\)、と表して、f(t)のラプラス変換といいます。
主な関数のラプラス変換
主な関数のラプラス変換を下の表にまとめてみました。
これさえ覚え解けば、大学のテストは余裕のよっちゃん。
| f(t) | F(s) | \(e^{at}f(t)\) | F(s-a) |
| 1 | 1/s | \(e^{at}\) | \(\frac{1}{s-a}\) |
| t | \(\frac{1}{s^{2}}\) | \(e^{at}t\) | \(\frac{1}{(s-a)^2}\) |
| \(t^2\) | \(\frac{2}{s^3}\) | \(e^{at}t^2\) | \(\frac{2}{(s-a)^3}\) |
| .... | .... | .... | .... |
| \(t^n\) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) | \(e^{at}t^n\) | \(\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}\) |
| sinωt | \(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\) | \(e^{at}sin\omega t\) | \(\frac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}\) |
| cosωt | \(\frac{s}{s^2+\omega^2}\) | \(e^{at}cos\omega t\) | \(\frac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}\) |
はい、この表のf(t)が1の時と、tの時を見比べてみてください。
1をtにするには積分が必要でしたね、それがラプラス変換をした後を見ると、
1をラプラス変換したものに1/sをかけるとtをラプラス変換した形になってるんです!!
同様にtを1にするには微分が必要ですが、ラプラス変換後は、tのラプラス変換にsをかけるだけになってることが分かりますね!!
つまり!!
ラプラス変換は、くそめんどくせぇ微分積分を掛け算、割り算だけでできるようにするためにあるのです。微分積分苦手な方はラッキーですね。
微分されたラプラス変換
f(t)を微分したf'(t)をラプラス変換するとどうなるか、
$$\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(+0)$$
こうなります。
証明厨のために証明する
とりあえず
\(f(+0)=\lim_{x\to{+0}}f(x)\)とします。
部分積分も使います。
\(\mathcal{L}[f'(t)]=\int_0^\infty e^{-st}f7(t)dt=[e^{-st}f(t)]_0^\infty +s\int_0^\infty e^{-st}f(t)dt=sF(s)-f(+0)\)
となって(とりあえず証明終了)、先ほどの公式
$$\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(+0)$$
を繰り返し使えば、
$$\mathcal{L}[f^{(n)}(t)=s^nF(s)-s^{n-1}f(+0)-s^{n-2}f'(+0)-…..-f^{(n-1)}(+0)$$
が導けます。
この二つの公式は、常微分方程式を解くときに使いますので覚えといてくださいね。
積分されたラプラス変換
積分したf(x)をラプラス変換すると
$$\mathcal{L}[\int_0^t f(x)dx]=\frac{1}{s}F(s)$$
となります。
証明
\(g(t)=\int_0^t f(x)dx\)とすれば、g'(t)=f(t), g(0)=0となるので、先ほどの微分の公式
$$\mathcal{L}[f'(t)]=sF(s)-f(+0)$$
とあわせて、
$$F(s)=\mathcal{L}[f(t)]=\mathcal{L}[g'(t)]=sG8s)-g(0)=sG(s)$$
となって、証明終了!
まとめ
ラプラス変換は、工学系にいるなら覚え解いて絶対損はない。
ラプラス変換を、プログラムで実装することで、微分積分のプログラム開発が楽になるかも。
まあ、
文系は知らなくてもいいや。