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[高校数学][三角関数]世界一わかる積和、和積の公式の出し方(たぶん)

 

どうもふじわらです。今日は、三角関数の積和、和積の公式の出し方を書きます。

 

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僕の思いで

僕が、高校生だった時、加法定理は結構簡単に覚えられたんですけど、

積和、和積の公式って、普段使わないから覚える機会は少ないし、1/2とか色々出てきてよーわからんってなってました。

テストに出た時は、うろ覚えで提出して、ぺけ食らってました。

 

けど、加法定理さえ覚えていたら余裕で導けてしまいます。

 

加法定理

まず、加法定理は

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \tag{★}$$

$$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta \tag{●}$$

の二つですね。

これは、覚えないと話にならないので、覚えて下さい。

 

積和の公式

まずは、積和の公式から導出していきます。

完成系はこちらです。

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$
$$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha – \beta)\} \tag{2}$$
$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \tag{3}$$

です。今思うと結構簡単に見えますね。

ではまずはじめに(1)式を導出していきましょう。

まず、左辺の、\(\sin\alpha\cos\beta\) を出したいので、

加法定理の

$$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$$

の式に注目します。

上の式をよく見ると、

右辺の第一項に、\(\sin\alpha\cos\beta\) がありますね。

これについてまとめたいですよね、

でも右辺第二項の\(\cos\alpha\sin\beta\)が邪魔じゃないですか?

僕はすごい邪魔に感じます。

なので、

消し去ってやりましょう。

消し去り方はめちゃめちゃ簡単で、

$$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \tag{4}$$

$$\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta \tag{5}$$

の両式を足し合わせてしまいましょう。

((4)と(5)式の±に注意してください。)

足し合わせると、

$$\{\sin(\alpha + \beta)+\sin(\alpha – \beta)\}=2\sin\alpha\cos\beta$$

になります。

あとは、左辺が\(\sin\alpha\cos\beta\)となるように変形してあげると、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha – \beta)\}$$

となって完成です。

以外と簡単だったのではないでしょうか?

 

 

同様に、

(2)式も(●)式の+verから(●)式の-verを引けば出せますし、

(3)式は(●)式の+verと(●)式の-verを足し合わせたら出すことができます。

 

 

和積の公式

では、次に和積の公式を出しましょう。

和積の公式は4つあります。

まあ、和積の公式自体あまり入試とかには出ないので、覚える必要はそんなにないです。

 

和積の公式は、

$$ \sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \tag{6}$$
$$ \sin x – \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \tag{7}$$
$$ \cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} \tag{8}$$
$$ \cos x – \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} \tag{9}$$

 

です。

これを覚えるのは大変かつ無駄なので、導出できるようにしましょう。

先ほど導出した、

積和の公式、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$

で、\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと、

(6)式が出せてしまいます。

 

同様に、(7)式は、

$$\sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\} \tag{1}$$

で、\(\alpha=\frac{x-y}{2}\)、\(\beta=\frac{x+y}{2}\)と置くと出せてしまいます。

 

(8)式は、

$$\cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha – \beta)\} \tag{3}$$

で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。

 

(9)式は、

$$\sin\alpha\sin\beta = -\frac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta) – \cos(\alpha – \beta)\} \tag{2}$$

で\(\alpha=\frac{x+y}{2}\)、\(\beta=\frac{x-y}{2}\)と置くと出せます。

 

まとめ

実際に導出してみると、だいぶ簡単だったのではないでしょうか?

 

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